Devirli Ondalık Sayıları Kesre Çevirme
Devirli ondalık sayılar kesre nasıl çevrilir? 0,333…=1/3 ispatı, 9-0 payda kuralı, cebirsel yöntemin adım adım uygulanışı ve çözümlü örnekler.
0,333… gibi sonu gelmeyen ama devreden ondalık sayılar ilk bakışta "kesre sığmaz" görünür; oysa hepsi birer rasyonel sayıdır ve şaşırtıcı derecede basit bir yöntemle kesre çevrilir. Bu rehberde cebirsel yöntemi adım adım kuracak, pratik "9-0 kuralını" öğrenecek ve 0,999… = 1 gibi ünlü sonuçları göreceğiz.
Devirli Ondalık Nedir?
Bir kesrin ondalık açılımı sonlu değilse, bölme işlemi bir noktadan sonra tekrar etmeye başlar; tekrar eden basamak bloğuna devir denir ve parantezle gösterilir:
- 1/3 = 0,333… = 0,(3) — devreden: 3
- 1/6 = 0,1666… = 0,1(6) — devretmeyen: 1, devreden: 6
- 1/7 = 0,142857142857… = 0,(142857) — altı basamaklı devir!
Neden devir oluşur? Bölmede her adımda kalan, paydadan küçük olmak zorundadır; farklı kalan sayısı sonlu olduğundan (payda − 1 tane olasılık) kalanlar eninde sonunda tekrar eder. Kalan tekrar ettiği andan itibaren bölüm basamakları da aynen tekrarlar. Bu yüzden her rasyonel sayının ondalık açılımı ya sonlu ya devirlidir; devretmeyen sonsuz açılımlar irrasyoneldir (π, √2 gibi): Rasyonel sayılar
Cebirsel Yöntem (Adım Adım)
Yöntemin fikri: devri "hizalayarak" yok eden iki denklem kurup taraf tarafa çıkarmak.
Örnek 1 — 0,(3) = 0,333…:
x = 0,333… diyelim.
Devir 1 basamak → her iki tarafı 10 ile çarp: 10x = 3,333…
Çıkar: 10x − x = 3,333… − 0,333… → 9x = 3 → x = 3/9 = 1/3 ✓
Örnek 2 — 0,1(6) = 0,1666… (devir ikinci basamakta başlıyor):
x = 0,1666…
Devretmeyen 1 basamak var → 10x = 1,666… (devri virgülün soluna taşı)
Devir 1 basamak → 100x = 16,666… (devri bir kez daha kaydır)
Çıkar: 100x − 10x = 16,666… − 1,666… → 90x = 15 → x = 15/90 = 1/6 ✓
Örnek 3 — 2,(142857): x = 2,142857142857…
Devir 6 basamak → 10⁶x − x = 999999x = 2142857 − 2 = 2142855
x = 2142855/999999 → sadeleşir → 15/7 ✓ (Kontrol: 15 ÷ 7 = 2,142857…)
Tüm bu adımları otomatik gösteren ondalık-kesir çevirici aracı, devreden kısmı girdiğinizde denklem kurulumunu satır satır raporlar.
Pratik Kural: "9'lar ve 0'lar"
Cebirsel yöntemin kısayolu:
Payda = devrin basamak sayısı kadar 9, ardından devretmeyen ondalık basamak sayısı kadar 0
0,(3): pay = 3 − 0 = 3, payda = 9 → 3/9 = 1/3
0,1(6): pay = 16 − 1 = 15, payda = 90 (bir 9: devir; bir 0: devretmeyen basamak) → 15/90 = 1/6
0,(27): pay = 27 − 0 = 27, payda = 99 → 27/99 = 3/11
2,3(14): pay = 2314 − 23 = 2291, payda = 990 → 2291/990 (sade mi? 2291 = 29·79, 990 = 2·3²·5·11 → sade ✓)
Sadeleştirme kontrolü için: Kesir sadeleştirme aracı
Ünlü Sonuç: 0,(9) = 1
x = 0,999… → 10x = 9,999… → 10x − x = 9 → 9x = 9 → x = 1.
9-0 kuralıyla: pay = 9 − 0 = 9, payda = 9 → 9/9 = 1.
Bu eşitlik sezgiye aykırı görünse de kesindir: 0,(9) ile 1 aynı sayının iki farklı gösterimidir. Genel kural: devri tamamen 9 olan her ondalık, sonlu bir ondalığa eşittir (0,2(9) = 0,3; 1,49(9) = 1,5).
Sık Sorulan Sorular
Her sonsuz ondalık devirli midir?
Hayır. Devirliler rasyoneldir; devretmeyen sonsuz ondalıklar (0,1010010001… veya π = 3,14159…) irrasyoneldir ve kesirle tam olarak yazılamaz. Ayırt etme ölçütü: blok tekrarının varlığı.
Devir parantezi nasıl yerleştirilir?
Yalnızca tekrar eden bloğu kapsar: 0,1666… için devreden tek basamak 6'dır → 0,1(6). 0,121212… için blok 12'dir → 0,(12). Hangi basamaktan itibaren tekrar başladığını bölme işlemine bakarak doğrulayabilirsiniz.
Negatif devirli sayılar çevrilebilir mi?
Evet; işaret korunarak aynı yöntem uygulanır: −0,(3) = −1/3. Rasyonel sayı tanımı gereği pay negatif olabilir.
Araç devir girişini nasıl istiyor?
Sayı kutusuna devrin ilk turunu içeren hâliyle yazın (örn. 0,16), devir kutusuna tekrar eden bloğu girin (örn. 6). Araç 0,1(6) yorumunu otomatik yapar ve 9-0 kuralını adım adım gösterir: ondalık-kesir çevirici. Sonlu ondalıklar için devir kutusunu boş bırakın: Ondalık gösterim rehberi
Matematik eğitim içerikleri üzerinde çalışan editör ekibimiz; her yazıyı güncel müfredata göre hazırlar, örnekleri tek tek doğrular ve düzenli olarak günceller. Yayın politikamız →