EBOB Nedir? Nasıl Hesaplanır? (Adım Adım Anlatım)
EBOB (en büyük ortak bölen) nedir, nasıl bulunur? Bölen listesi, asal çarpanlara ayırma ve Öklid algoritması yöntemlerini çözümlü örneklerle öğrenin.
EBOB, iki ya da daha fazla pozitif tam sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne verilen addır; "En Büyük Ortak Bölen" sözünün kısaltmasıdır. Ders kitaplarında aynı kavram OBEB (Ortak Bölenlerin En Büyüğü) kısaltmasıyla da geçer. EBOB; kesir sadeleştirmeden eşit parçalara ayırma problemlerine kadar matematiğin birçok alanında karşınıza çıkar. Bu rehberde EBOB'un ne olduğunu üç farklı yöntemle, adım adım ve çözümlü örneklerle öğreneceksiniz.
EBOB Ne Demek?
İki sayının ortak böleni, her iki sayıyı da kalansız bölen sayıdır. Bu ortak bölenlerin en büyüğü ise EBOB'dur.
Örnek — 12 ve 18'in ortak bölenlerini bulalım:
12'nin pozitif bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12
18'in pozitif bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Ortak bölenler: 1, 2, 3, 6 → En büyüğü 6.
EBOB(12, 18) = 6
Bu örnek aynı zamanda en temel yöntemi de gösterir: bölenleri listele ve en büyük ortak olanı seç. Ancak sayılar büyüdüğünde (örn. 480 ve 1260) bölen listesi yazmak pratik değildir. İşte burada iki hızlı yöntem devreye girer.
EBOB Nasıl Bulunur? 3 Yöntem
1. Yöntem: Asal Çarpanlara Ayırma
Sayıları asal çarpanlarına ayırın; yalnızca ortak olan asalları, en küçük üsleriyle alıp çarpın:
Örnek — EBOB(48, 180):
48 = 2⁴ · 3 | 180 = 2² · 3² · 5
Ortak asallar: 2 ve 3. En küçük üsler: 2² ve 3¹.
EBOB = 2² · 3 = 4 · 3 = 12
Bu yöntemi adım adım uygulamak için asal çarpanlara ayırma aracını kullanabilir, EBOB-EKOK ikilisini birlikte görmek için EBOB EKOK hesaplama aracına göz atabilirsiniz.
2. Yöntem: Ortak Bölme (Merdiven) Yöntemi
İki sayı yan yana yazılır; ikisini birden bölen asal sayılarla eş zamanlı bölünür. Ortak bölen kalmadığında, sol taraftaki bölenlerin çarpımı EBOB'dur:
Örnek — EBOB(24, 36):
24 ve 36 → 2'ye böl: 12 ve 18 → 2'ye böl: 6 ve 9 → 3'e böl: 2 ve 3. Artık ortak bölen yok.
EBOB = 2 · 2 · 3 = 12
3. Yöntem: Öklid (Euclid) Algoritması
Büyük sayılar için en hızlı yöntemdir. Kural basittir: EBOB(a, b) = EBOB(b, a mod b); kalan 0 olana dek tekrarlanır. Kalanın 0 olduğu adımdaki bölen, EBOB'dur:
Örnek — EBOB(180, 48):
180 = 3 × 48 + 36 → EBOB(48, 36)
48 = 1 × 36 + 12 → EBOB(36, 12)
36 = 3 × 12 + 0 → EBOB = 12
Algoritmanın mantığı, ispatı ve daha çok örnek için ayrıntılı rehberimiz: Öklid algoritması ile EBOB hesaplama
EBOB'un Özellikleri
- EBOB(a, b) ≤ min(a, b): EBOB hiçbir zaman sayıların küçüğünden büyük olamaz.
- Biri diğerinin katıysa: EBOB küçük sayıya eşittir. Örn. EBOB(6, 18) = 6.
- Aralarında asal sayılar: Ortak bölenleri yalnızca 1 ise EBOB = 1'dir. Örn. EBOB(8, 15) = 1. Dikkat: aralarında asal sayıların asal olması gerekmez (8 ve 15'in ikisi de bileşiktir).
- Simetri: EBOB(a, b) = EBOB(b, a).
- Üç veya daha fazla sayı: EBOB(a, b, c) = EBOB(EBOB(a, b), c) — yöntem ikili ikili genişletilebilir.
- EBOB × EKOK ilişkisi: İki sayı için EBOB(a,b) × EKOK(a,b) = a × b. Ayrıntı: EBOB × EKOK kuralı
EBOB Nerelerde Kullanılır?
- Kesir sadeleştirme: 48/180 kesrini EBOB(48,180) = 12'ye bölerek 4/15'e indirgersiniz → Kesir sadeleştirme
- Eşit parçalara ayırma problemleri: Farklı uzunluktaki çubukların eşit parçalara ayrılması, dikdörtgen zeminin kare fayansla kaplanması gibi klasik sorular EBOB ile çözülür → EBOB EKOK problemleri
- Oranların sadeleştirilmesi: 24:36 oranı 2:3'e indirgenir.
Sık Sorulan Sorular
EBOB ile OBEB arasındaki fark nedir?
Hiçbir fark yoktur; aynı kavramın iki kısaltmasıdır. "EBOB" (En Büyük Ortak Bölen) yeni müfredatta, "OBEB" (Ortak Bölenlerin En Büyüğü) ise eski kitap ve kaynaklarda yaygındır. Aynı şekilde EKOK ile OKEK de eş anlamlıdır.
EBOB neden her zaman pozitif alınır?
Ortak bölenler arasında negatif sayılar da vardır (−6 da 12 ve 18'i böler); ancak "en büyük" dendiğinde pozitif olan kastedilir. Tanım gereği EBOB pozitif bir tam sayıdır.
İki sayı aralarında asal ise EKOK'ları kaçtır?
EBOB = 1 olduğundan, EBOB × EKOK = a × b eşitliğine göre EKOK = a × b olur. Örneğin 8 ve 15 aralarında asaldır; EKOK(8, 15) = 120'dir.
EBOB hangi sınıfın konusudur?
Türkiye müfredatında EBOB-EKOK, 6. sınıf matematik dersi "Çarpanlar ve Katlar" ünitesinin temel konusudur ve LGS'de düzenli olarak sorulur: LGS'de EBOB EKOK soruları
Matematik eğitim içerikleri üzerinde çalışan editör ekibimiz; her yazıyı güncel müfredata göre hazırlar, örnekleri tek tek doğrular ve düzenli olarak günceller. Yayın politikamız →