EBOB × EKOK = a × b Kuralı ve İspatı
EBOB çarpı EKOK neden a çarpı b'ye eşittir? Kuralın asal çarpanlarla ispatı, EKOK bulma kısayolu, sınırları ve çözümlü örnekler.
Matematiğin en zarif küçük eşitliklerinden biri şudur: iki pozitif tam sayının EBOB'u ile EKOK'unun çarpımı, sayıların çarpımına eşittir. Bu yazıda kuralın neden doğru olduğunu iki farklı yoldan ispatlayacak, pratik kullanımını gösterecek ve nerede geçerli olmadığını (üç sayı!) vurgulayacağız.
Kural
Hızlı doğrulama örnekleri:
a = 12, b = 18: EBOB = 6, EKOK = 36 → 6 · 36 = 216 = 12 · 18 ✓
a = 8, b = 15 (aralarında asal): 1 · 120 = 120 = 8 · 15 ✓
a = 6, b = 24 (kat durumu): EBOB = 6, EKOK = 24 → 6 · 24 = 144 = 6 · 24 ✓
İspat 1: Asal Çarpanlarla (Üs Mantığı)
Her asal p için, a ve b'deki üslerine sırasıyla α ve β diyelim. O zaman:
- EBOB'ta p'nin üssü min(α, β),
- EKOK'ta p'nin üssü max(α, β),
- EBOB × EKOK'ta p'nin toplam üssü min(α, β) + max(α, β) = α + β,
- a × b'de p'nin üssü de α + β'dir.
Her asal için üsler eşit olduğundan iki çarpım eşittir. ∎
Somut gösterim — a = 60 = 2²·3·5, b = 72 = 2³·3²:
2 için: min(2,3)+max(2,3) = 2+3 = 5 = a·b'deki 2'nin üssü (2⁵)
3 için: min(1,2)+max(1,2) = 1+2 = 3 ✓ | 5 için: min(1,0)+max(1,0) = 1+0 = 1 ✓
EBOB·EKOK = 12 · 360 = 4320 = 60 · 72 ✓
İspat 2: Sadeleştirmeyle (Sezgisel Yol)
d = EBOB(a, b) olsun. a = d·x, b = d·y yazılabilir; üstelik x ile y aralarında asaldır (ortak çarpanları kalsaydı d daha büyük olurdu). Aralarında asal sayıların EKOK'u çarpımları olduğundan:
Şimdi çarpalım: EBOB · EKOK = d · (d·x·y) = (d·x) · (d·y) = a · b. ∎
Bu ikinci ispat aynı zamanda pratik bir EKOK bulma kısayolu verir: d'yi (EBOB) Öklid ile bul, kalan x·y çarpımını d ile çarp — asal çarpanlara hiç dokunma.
Pratik Kullanımlar
1) EKOK'u EBOB üzerinden bulma: EKOK(a, b) = (a · b) / EBOB(a, b).
Örnek: EKOK(96, 180) = ? EBOB'u Öklid'le bulalım: 180 = 1·96 + 84; 96 = 1·84 + 12; 84 = 7·12 + 0 → EBOB = 12. EKOK = (96·180)/12 = 17280/12 = 1440.
2) Bilinmeyeni bulma: EBOB = 6, a = 42 ise ve EKOK = 210 ise b = (EBOB·EKOK)/a = (6·210)/42 = 30.
3) Sağlama: Sınavda asal çarpan yöntemiyle bulduğunuz EKOK'u köprüyle test edin; işlem hatasını anında yakalar. Öklid algoritmasıyla birlikte kullanım: Öklid algoritması rehberi
Kuralın Sınırları: Üç Sayıda Geçerli Değil!
Dikkat: EBOB(a, b, c) × EKOK(a, b, c) = a·b·c eşitliği genel olarak yanlıştır.
Karşı örnek: a = 2, b = 4, c = 8 → EBOB = 2, EKOK = 8 → 2·8 = 16 ama 2·4·8 = 64.
Üç sayıda doğru zincir: EKOK(a,b,c) = EKOK(EKOK(a,b),c) ve EBOB(a,b,c) = EBOB(EBOB(a,b),c). İkili köprü eşitliği yalnızca bu ikili adımlar içinde kullanılır.
Kuralın yalnızca iki sayıda geçerli olmasının sebebi, ispat 1'deki min-max dengesinde görülebilir: üç sayıda min + max, üç üssün toplamına eşit olmak zorunda değildir (ortanca üs "sahipsiz" kalır).
Sık Sorulan Sorular
Kural aralarında asal sayılarda ne söyler?
EBOB = 1 olduğundan EKOK = a·b çıkar. Bu, kuralın en sık kullanılan özel hâlidir: EKOK(9, 10) = 90.
Sayılardan biri diğerinin katıysa?
a | b ise EBOB = a, EKOK = b ve kural a·b = a·b hâline gelir — yani kural bu uç durumu da tutarlı biçimde kapsar.
Kural kesirler veya negatif sayılar için geçerli mi?
EBOB/EKOK pozitif tam sayılarda tanımlıdır; kural da bu kümede geçerlidir. Negatif girişlerde mutlak değerlerle aynı sonuç elde edilir: EBOB(−12, 18) = 6, EKOK(−12, 18) = 36 → 6·36 = |−12|·18 ✓.
Bu kural sınavlarda nasıl kullanılır?
En sık iki biçimde: (1) EBOB verilip EKOK istenir (veya tersi) — doğrudan bölme; (2) EBOB ve EKOK verilip sayılar istenir — d·x, d·y kalıbı. Her iki kalıbın çözümlü örnekleri: EBOB EKOK özellikleri ve KPSS-ALES teknikleri
Matematik eğitim içerikleri üzerinde çalışan editör ekibimiz; her yazıyı güncel müfredata göre hazırlar, örnekleri tek tek doğrular ve düzenli olarak günceller. Yayın politikamız →