EBOB ve EKOK'un Özellikleri: Tüm Formüller Bir Arada
EBOB ve EKOK'un tüm özellikleri ve formülleri: büyüklük sınırları, aralarında asallık, kat ilişkileri, EBOB×EKOK=a×b kuralı ve çözümlü örnekler.
EBOB ve EKOK sorularının çoğu, birkaç temel özelliği tanımakla hesaplama yapmadan çözülür. Bu yazıda iki kavramın sınavlarda işinize yarayacak tüm özelliklerini, her biri için kısa bir örnekle birlikte derledik. Yazı, EBOB nedir? ve EKOK nedir? rehberlerimizin devamı niteliğindedir.
EBOB'un Özellikleri
- Sınır: EBOB(a, b) ≤ min(a, b). Eşitlik, küçük sayı büyüğü tam böldüğünde gerçekleşir.
- Kat durumunda: b, a'nın katıysa EBOB(a, b) = a. Örn. EBOB(7, 28) = 7.
- Aralarında asallık: Ortak asal çarpan yoksa EBOB = 1. Örn. EBOB(14, 15) = 1 (14 = 2·7, 15 = 3·5).
- Simetri ve tekrarlama: EBOB(a, b) = EBOB(b, a) ve EBOB(a, a) = a.
- Zincirleme: EBOB(a, b, c) = EBOB(EBOB(a, b), c).
- Ölçekleme: EBOB(k·a, k·b) = k · EBOB(a, b). Örn. EBOB(60, 90) = 30 · EBOB(2, 3) = 30.
- Bölünebilme bağı: d sayısı hem a'yı hem b'yi bölüyorsa d, EBOB(a, b)'yi de böler.
Örnek (6. özellik): EBOB(240, 360) = ? → Ortak 120 parantezine al: 240 = 120·2, 360 = 120·3. EBOB(2, 3) = 1 olduğundan sonuç 120. Asal çarpanlara ayırmaya hiç gerek kalmadı!
EKOK'un Özellikleri
- Sınır: EKOK(a, b) ≥ max(a, b). Eşitlik, büyük sayı küçüğün katı olduğunda gerçekleşir.
- Kat durumunda: b, a'nın katıysa EKOK(a, b) = b. Örn. EKOK(6, 18) = 18.
- Aralarında asallık: EBOB = 1 ise EKOK = a · b. Örn. EKOK(4, 9) = 36.
- Simetri ve tekrarlama: EKOK(a, b) = EKOK(b, a) ve EKOK(a, a) = a.
- Zincirleme: EKOK(a, b, c) = EKOK(EKOK(a, b), c).
- Ölçekleme: EKOK(k·a, k·b) = k · EKOK(a, b).
- Kat bağı: m hem a'nın hem b'nin katıysa m, EKOK(a, b)'nin de katıdır. Yani tüm ortak katlar EKOK'un katlarıdır.
Örnek (7. özellik): Hem 8'e hem 12'ye bölünen üç basamaklı en küçük sayı kaçtır? EKOK(8, 12) = 24 → 24'ün üç basamaklı en küçük katı: 120.
Köprü Eşitlik: EBOB × EKOK = a × b
İki sayı için daima geçerlidir:
Örnek: EBOB'u 6 olan 42 ve 66 sayılarının EKOK'u: (42 · 66) / 6 = 2772/6 = 462. Kontrol: 42 = 6·7, 66 = 6·11 → EKOK = 6·7·11 = 462 ✓
Kuralın ispatı ve sınırları (üç sayıda geçerli değil!) için: EBOB × EKOK = a × b kuralı
EBOB ve EKOK'un Birlikte Kullanıldığı Kalıplar
- EBOB(a, b) = 1 ise sayılar aralarında asaldır ve EKOK = a·b'dir.
- a | b ise (a, b'yi bölüyorsa): EBOB = a, EKOK = b. Bu en temiz durumdur.
- EBOB × EKOK verilip sayılar soruluyorsa: a = EBOB·x, b = EBOB·y (x, y aralarında asal) yazılır; EBOB²·x·y = a·b eşitliğinden x·y bulunur, aralarında asal (x, y) çiftleri denenir.
Örnek — klasik sınav sorusu: EBOB'ları 5, EKOK'ları 150 olan iki sayının toplamı en az kaçtır?
Sayılar 5x ve 5y (x, y aralarında asal). EBOB × EKOK = a · b → 5·150 = 5x·5y → 750 = 25xy → xy = 30.
Aralarında asal (x, y) çiftleri: (1, 30), (2, 15), (5, 6). Toplamlar: 31, 17, 11 → en küçük toplam 11·5 = 55 (sayılar 25 ve 30).
İpucu: Bu tür sorularda (x, y) çiftlerini yazarken aralarında asallık kontrolünü atlamayın: xy = 30 için (3, 10) çifti de çarpımı verir ve aralarında asaldır — toplam 13; ama (6, 5) ile aynı çifttir, sıralama sonucu değiştirmez. (x, y) = (5, 6) en küçük toplamı verir.
Bu kalıpların bol pratiği için: 25 çözümlü EBOB-EKOK örneği ve EBOB EKOK problemleri
Sık Sorulan Sorular
EBOB(a, b) = 1 olan her sayı çifti asal mıdır?
Hayır. Aralarında asallık, sayıların kendisinin asal olmasını gerektirmez: 9 ve 25'in ikisi de bileşiktir ama EBOB(9, 25) = 1'dir. Gerekli olan tek şey ortak asal çarpanlarının olmamasıdır.
EBOB ile EKOK aynı anda 1 olabilir mi?
Yalnızca a = b = 1 ise: EBOB(1, 1) = EKOK(1, 1) = 1. Diğer tüm çiftlerde EKOK ≥ 2 > 1 = olası EBOB.
Ardışık iki sayının EBOB ve EKOK'u nedir?
Ardışık sayılar daima aralarında asaldır: EBOB(n, n+1) = 1, EKOK(n, n+1) = n(n+1). Örn. EBOB(20, 21) = 1, EKOK(20, 21) = 420. Ayrıntı: Ardışık sayıların EBOB ve EKOK'u
Bu özellikler KPSS/ALES'te de geçerli mi?
Evet, özellikler evrenseldir. Sınavlarda büyük sayılarla uğraşmak yerine bu kısayolları (ölçekleme, kat durumu, köprü eşitlik) kullanmak ciddi zaman kazandırır: KPSS, ALES ve DGS'de EBOB EKOK
Matematik eğitim içerikleri üzerinde çalışan editör ekibimiz; her yazıyı güncel müfredata göre hazırlar, örnekleri tek tek doğrular ve düzenli olarak günceller. Yayın politikamız →