Karekök Nedir? Karekök Sadeleştirme Kuralları
Karekök nedir, nasıl hesaplanır ve sadeleştirilir? Kök dışına çıkarma, köklü sayılarda dört işlem, yaklaşık değer bulma ve çözümlü örnekler.
Karekök, karesi verilen sayıya eşit olan sayıyı bulma işlemidir: √25 = 5, çünkü 5² = 25. Tam kare olmayan sayıların karekökü irrasyoneldir (√2 = 1,41421…) ama daima a√b biçiminde sadeleştirilebilir. Karekök; LGS'nin "Kareköklü İfadeler" ünitesinin, geometrinin (Pisagor) ve ileri matematiğin vazgeçilmezidir.
Karekökün Tanımı ve Temel Özellikleri
- √n = a ⇔ a² = n ve a ≥ 0. Karekök işareti daima negatif olmayan kökü gösterir: √16 = 4 (−4 değil; x² = 16 denkleminin iki çözümü vardır ama √16 ifadesi yalnızca 4'tür).
- √0 = 0; negatif sayıların gerçek karekökü yoktur.
- √(a²) = |a|: √((−5)²) = √25 = 5.
- Tam karelerin kökü tam sayıdır: √1, √4, √9, √16, √25… → Tam kare nedir?
Temel kökler (ezberlenmeli): √2 ≈ 1,414 • √3 ≈ 1,732 • √5 ≈ 2,236 • √10 ≈ 3,162
Karekök Sadeleştirme: Kök Dışı Çıkarma
Kural: sayıyı asal çarpanlarına ayır; eşleşen (üssü çift) çarpanları kök dışına çıkar, eşleşmeyenleri içeride bırak:
Örnek — √72: 72 = 2³ · 3²
2'lerden bir çift çıkar (2), bir tek kalır; 3'lerin çifti çıkar (3):
√72 = √(2² · 3² · 2) = 2 · 3 · √2 = 6√2 ≈ 8,485
Kısa yol: İçerideki en büyük tam kare çarpanı bul: 72 = 36 · 2 → √72 = √36 · √2 = 6√2. 50 = 25·2 → 5√2; 180 = 36·5 → 6√5; 200 = 100·2 → 10√2.
Adım adım otomatik sadeleştirme: Karekök sadeleştirme aracı • Çarpan analizi: Asal çarpanlara ayırma
Köklü Sayılarda İşlem Kuralları
| İşlem | Kural | Örnek |
|---|---|---|
| Çarpma | √a · √b = √(a·b) | √3 · √12 = √36 = 6 |
| Bölme | √a / √b = √(a/b) | √50/√2 = √25 = 5 |
| Toplama | Kök içleri aynıysa katsayılar toplanır | 2√5 + 3√5 = 5√5 |
| Çıkarma | Aynı şart | 7√2 − 4√2 = 3√2 |
| Kök içine alma | a√b = √(a²·b) | 3√2 = √18 |
En sık hata: √a + √b ≠ √(a+b)! Örneğin √9 + √16 = 3 + 4 = 7 ama √25 = 5. Toplama kök içine girmez; önce her kökü sadeleştir, sonra benzer terimleri topla: √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2.
Yaklaşık Değer Bulma (Sıkıştırma Yöntemi)
Tam kare olmayan √n için iki komşu tam kare bulun:
Örnek — √50 kaç ile kaç arasındadır? 49 < 50 < 64 → 7 < √50 < 8. 50, 49'a çok yakın olduğundan √50 ≈ 7,07 (gerçek değer 7,0711…). Sade hâliyle kontrol: √50 = 5√2 = 5 · 1,414 = 7,07 ✓
Ondalık açılım istenirse hesap makinesi ya da Heron yöntemi kullanılır; sınavda çoğunlukla aralık veya en yakın tam sayı sorulur.
Paydayı Rasyonel Yapma
Paydada kök bırakmamak için pay ve payda eşlenikle çarpılır:
6/√3 = (6·√3)/(√3·√3) = 6√3/3 = 2√3
1/(√5−√2) = (√5+√2)/((√5−√2)(√5+√2)) = (√5+√2)/3
(√a−√b)(√a+√b) = a − b fark-kare özdeşliği burada motor görevi görür.
Karekök Nerelerde Kullanılır?
- Pisagor teoremi: dik üçgende hipotenüs c = √(a² + b²). 3-4-5 üçgeni tam kök verir; 1-1-√2 ikizkenar dik üçgeni köklü kalır.
- Geometri: karenin köşegeni a√2, eşkenar üçgenin yüksekliği (a√3)/2.
- Standart sapma ve istatistik ölçüleri.
- Üslü sayılarla bağ: √a = a^(1/2) — kök, kesir üslü gösterimin özel hâlidir: Üslü sayılar
Sık Sorulan Sorular
√16 = ±4 mı, 4 mü?
√16 ifadesi 4'tür (karekök fonksiyonu negatif çıktı vermez). "x² = 16 ise x = ?" sorusunun cevabı ise ±4'tür. İşaret ayrımını soru kökünden okuyun.
Kök içi negatif olabilir mi?
Gerçek sayılarda hayır: √(−9) tanımsızdır (karesi −9 olan gerçek sayı yoktur). İleri matematikte karmaşık sayılarla √(−9) = 3i yazılır; ortaöğretim müfredatının dışındadır.
İki kökün toplamı nasıl karşılaştırılır?
Pozitif ifadelerde kare almak sıralamayı korur: √7 + √5 mi 2√6 mı büyük? Kareleri: (√7+√5)² = 12 + 2√35 ≈ 23,8; (2√6)² = 24 → 2√6 biraz büyük. Sadeleştirme ve yaklaşık değerlerle de karşılaştırılabilir.
Köklü ifadeler hangi sınıfta görülür?
MEB müfredatında kareköklü ifadeler 8. sınıf konusudur ve LGS'de her yıl soru gelir. Tam kare-tam küp bilgisiyle birlikte çalışmak için: Tam kare ve tam küp aracı ve LGS matematik konu rehberi
Matematik eğitim içerikleri üzerinde çalışan editör ekibimiz; her yazıyı güncel müfredata göre hazırlar, örnekleri tek tek doğrular ve düzenli olarak günceller. Yayın politikamız →