Fayans Problemleri: Dikdörtgen Zeminin Karelerle Kaplanması
Kare fayans problemleri nasıl çözülür? En büyük fayans, en az fayans sayısı, kare zemin oluşturma ve LGS tarzı yeni nesil soruların çözümleri.
Dikdörtgen bir zeminin kare fayanslarla, hiç kesme yapmadan ve boşluk bırakmadan kaplanması — LGS'nin en tanınmış problem kalıplarından biri. Bu soruların tamamı tek bir kavrama dayanır: fayansın kenarı, zeminin iki kenar uzunluğunun ortak böleni olmalıdır. "En büyük fayans" soruluyorsa EBOB, "kare zemin/en az fayans" gibi varyasyonlarda ise EKOK devreye girer.
Temel Kalıp: En Büyük Fayans
Örnek: 90 cm × 120 cm boyutundaki dikdörtgen banyo zemini, kenar uzunluğu tam sayı olan kare fayanslarla kaplanacak. Fayans kesilmeyeceğine göre bir fayansın kenarı en çok kaç cm olabilir?
Çözüm: Fayans kenarı hem 90'ı hem 120'yi tam bölmeli → EBOB(90, 120) = 30 cm.
Devam sorusu — kaç fayans gerekir?
Yatayda 90/30 = 3, dikeyde 120/30 = 4 fayans → toplam 3 × 4 = 12 fayans.
Kontrol (alan): 90·120 = 10.800 cm²; 12 · (30·30) = 12 · 900 = 10.800 cm² ✓
Varyasyon 1: "En Az Kaç Fayans?"
"En az fayans" sorusu, "en büyük kenar" sorusunun ikizidir: kenar büyüdükçe sayı küçülür. Yani cevap yine EBOB üzerinden gelir:
Örnek: 24 m × 60 m salon, kare fayanslarla kaplanacak. En az kaç fayans gerekir?
Çözüm: EBOB(24, 60) = 12 m → (24/12)·(60/12) = 2·5 = 10 fayans.
Tuzak: "En az kaç fayans" sorusunu EKOK ile çözmeye kalkışmak! EKOK burada zemin değil, fayans kenarının aday üst sınırı için bile anlamsızdır. Zemin kaplamada yön daima EBOB'tur: sayıyı azaltmak için parçayı büyüt.
Varyasyon 2: Kare Zemin Oluşturma (EKOK Yönü)
Aynı kare fayanslardan en küçük kare zemini oluşturmak isterseniz yön tersine döner:
Örnek: 6 cm × 8 cm dikdörtgen fayanslar yan yana dizilerek kare bir desen oluşturulacak. En küçük karenin kenarı kaç cm'dir ve kaç fayans gerekir?
Çözüm: Karenin kenarı hem 6'nın hem 8'in katı ve en küçük olmalı → EKOK(6, 8) = 24 cm. Fayans sayısı = (24/6)·(24/8) = 4·3 = 12 fayans.
Yön kuralı: Dikdörtgeni karelere bölüyorsanız EBOB; dikdörtgenlerden kare inşa ediyorsanız EKOK. Soru "zemin dikdörtgen, fayans kare" mi diyor (EBOB), yoksa "fayans dikdörtgen, hedef kare" mi (EKOK)? Cümleyi kimin bölündüğüne göre okuyun.
Varyasyon 3: Farklı Boyutlu Fayanslar
Örnek: Bir depoda 30×30 ve 45×45 cm'lik iki tip kare fayans vardır. Kare bir zemin hiç kesme olmadan her iki tipe de tam uyacak şekilde döşenecekse, en küçük karenin kenarı kaç cm olmalıdır?
Çözüm: Kenar hem 30'un hem 45'in katı → EKOK(30, 45) = 90 cm.
Varyasyon 4: Kenar Boyunca Fidan/Direk (Çevre Problemi)
Fayans mantığının "çevre" versiyonu:
Örnek: 40 m × 56 m bahçenin çevresine, köşelere de gelmek üzere eşit aralıklarla ve en az sayıda fidan dikilecek. Aralık ve fidan sayısı nedir?
Çözüm: Aralık = EBOB(40, 56) = 8 m. Çevre = 2(40+56) = 192 m → 192/8 = 24 fidan (kapalı çevrede aralık sayısı = fidan sayısı).
LGS Tarzı Yeni Nesil Bir Soru
Soru: Görseldeki 120 cm × 180 cm dikdörtgen şeklindeki karton, kenar uzunlukları santimetre cinsinden tam sayı olan eş kare parçalara ayrılacaktır. Her kare parçanın çevre uzunluğu 60 cm olduğuna göre, karton kaç parçaya ayrılmıştır?
Çözüm: Karenin çevresi 60 → kenar 15 cm. 15, 120'yi böler mi? 120 = 15·8 ✓; 180 = 15·12 ✓. Parça sayısı = 8 · 12 = 96.
Not: Yeni nesil sorular EBOB'u "doğrudan bul" demez; kenarı çevreden/alandan dolandırarak verir. Önce kenarı çözün, sonra bölünebilirliği doğrulayın: bölünebilme aracı
Çözüm Şablonu (Ezberlenecek 4 Adım)
- Yönü belirle: dikdörtgen → kare parçalar (EBOB) mı, parçalar → kare bütün (EKOK) mu?
- EBOB/EKOK'u hesapla (araçla doğrula).
- Bölümleri say: yatay × dikey fayans adedi.
- Sağlama: alan eşitliği veya boyut çarpımı kontrolü.
Temel kavramlar: EBOB nedir? • EKOK nedir? • Benzer kesme problemleri: Çubuk ve tel kesme
Sık Sorulan Sorular
Fayans kenarı için "tam sayı" şartı neden önemli?
Tam sayı şartı, cevabın EBOB'a kilitlenmesini sağlar. Şart olmasaydı kenar 90 ile 120'nin herhangi bir ortak böleni (ör. 7,5) olabilirdi ve "en çok" sorusu anlamsızlaşırdı.
Zemin ölçüleri aralarında asalsa ne olur?
EBOB = 1 → en büyük kare fayansın kenarı 1 cm olur; bu, pratikte "hiç kesmeden kareyle kaplanamaz" demenin matematiksel karşılığıdır (yalnızca 1×1 ile). Örn. 7 × 11 zemini.
Kare sayısı ile alan arasındaki ilişki nedir?
Toplam alan sabittir; kare kenarı k katına çıkarsa sayı k² katına düşer. 30 cm'lik kenarla 12 fayans gereken zemine 15 cm'lik kenarla 48 fayans gerekir (2 kat kenar → 4 kat sayı).
Bu kalıp LGS dışında nerede çıkar?
KPSS-ALES problem bloklarında, DGS'de ve mesleki sınavlarda (inşaat-teknik) aynı şablon sorulur. Genel strateji: EBOB EKOK problemleri ve LGS EBOB EKOK
Matematik eğitim içerikleri üzerinde çalışan editör ekibimiz; her yazıyı güncel müfredata göre hazırlar, örnekleri tek tek doğrular ve düzenli olarak günceller. Yayın politikamız →