Çubuk ve Tel Kesme Problemleri (EBOB Uygulamaları)
Çubuk, tel ve kurdele kesme problemleri: en büyük eşit parça, parça sayısı, kesim sayısı hesapları ve "artan parça" varyasyonlarının çözümleri.
Farklı uzunluktaki çubukların, tellerin veya kurdelelerin eşit ve en büyük parçalara ayrılması, EBOB'un en klasik uygulama alanıdır. Bu sorular basit görünür ama üç ayrı büyüklüğü karıştırmak kolaydır: parça uzunluğu, parça sayısı ve kesim sayısı. Bu rehberde üçünü de net biçimde ayıracak, artan parçalı varyasyonları çözeceğiz.
Temel Kalıp
Örnek: 36 cm ve 48 cm uzunluğundaki iki çubuk, eşit uzunlukta ve hiç artmayacak şekilde parçalara ayrılacak. Bir parçanın uzunluğu en çok kaç cm'dir?
Çözüm: Parça uzunluğu iki çubuğu da tam bölmeli ve en büyük olmalı → EBOB(36, 48) = 12 cm.
Devam soruları:
- Parça sayısı = 36/12 + 48/12 = 3 + 4 = 7 parça
- Kesim sayısı = (3−1) + (4−1) = 2 + 3 = 5 kesim
Üç büyüklüğü ayırt edin: (1) Parça uzunluğu = EBOB. (2) Parça sayısı = uzunluklar toplamı ÷ EBOB. (3) Kesim sayısı = parça sayısı − çubuk sayısı (her çubukta son parça kesim gerektirmez).
Varyasyon 1: Üç ve Daha Fazla Çubuk
Örnek: 24, 40 ve 56 m uzunluğundaki üç tel eşit ve en büyük parçalara ayrılıyor. Parça uzunluğu ve toplam parça sayısı nedir?
Çözüm: EBOB(24, 40, 56) = 8 m. Parça sayısı = (24+40+56)/8 = 120/8 = 15 parça. Üç sayılı EBOB zincirleme hesaplanır: EBOB(EBOB(24,40), 56) = EBOB(8, 56) = 8 → EBOB özellikleri
Varyasyon 2: Artan Parçalı Kesme
Bazı sorularda eşitlik "neredeyse" sağlanır ve kalan sorulur:
Örnek: 50 cm'lik bir çubuk 8 cm'lik parçalara ayrılırsa kaç tam parça ve kaç cm artan olur?
Çözüm: 50 = 6·8 + 2 → 6 parça, 2 cm artan. Bu, bölme algoritmasının doğrudan uygulamasıdır (Öklid'deki "kalan" kavramı): Öklid algoritması
İleri varyasyon: "42 cm'lik çubuklar hangi eşit uzunluklara hiç artsız bölünemez?" → 42'nin bölenleri dışındaki her uzunluk artan bırakır. 42'nin bölenleri: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 → Bir sayının bölenleri
Varyasyon 3: Parça Sayısı Verilip Uzunluk Soruluyor
Örnek: 72 cm'lik bir tel, eşit parçalara ayrılmış ve 9 parça elde edilmiştir. Bir parça kaç cm'dir? Kaç kesim yapılmıştır?
Çözüm: Parça = 72/9 = 8 cm; kesim = 9 − 1 = 8 kesim. Bu yön, problemin tersine okunmasıdır; "parça sayısı × parça uzunluğu = toplam" denklemi her iki yönü de çözer.
Varyasyon 4: İki Aşamalı Kesme
Örnek: 120 cm ve 150 cm'lik iki boru önce eşit en büyük parçalara ayrılıyor; sonra her parça tekrar iki eşit parçaya bölünüyor. Son parçaların uzunluğu ve toplam sayısı nedir?
Çözüm: Birinci aşama: EBOB(120, 150) = 30 cm → 4 + 5 = 9 parça. İkinci aşama: her parça 15 cm'lik 2 parçaya → toplam 18 parça, uzunluk 15 cm. Çok aşamalı sorularda her aşamayı ayrı hesaplayıp sonucu birleştirin.
Kesim Sayısının Mantığı: Neden "Parça − 1"?
Tek bir çubuk p parçaya ayrılıyorsa, parçalar arasında p − 1 "ek yeri" vardır ve her ek yeri bir kesim ister:
36 cm'lik çubuk 12 cm'lik 3 parçaya → 2 kesim.
Birden çok çubukta toplam kesim = (toplam parça sayısı) − (çubuk sayısı): yukarıdaki 36+48 örneğinde 7 − 2 = 5 ✓
Halka (çember) biçimindeki telde ise uçlar birleştiğinden kesim sayısı = parça sayısı!
Dikkat: "Kesim sayısı" sorularında düz çubuk ile halka tel farkını kaçırmayın. Düz: p − 1; halka: p. Çevre problemlerindeki fidan sayısı mantığıyla birebir aynıdır: Günlük hayatta EBOB
Gerçek Hayat Bağlamları
- Elektrik: Farklı uzunluktaki kabloların eşit parçalara ayrılması.
- Terzilik: Kumaş toplarından eşit boyda parçalar kesilmesi.
- Marangozluk: Çıta ve profil kesimi; fire hesabı (artan parça varyasyonu).
- Demir-çelik: Standart boy çubukların sipariş ölçülerine bölünmesi.
- Bahçecilik: Farklı uzunluktaki sulama borularının eşitlenmesi.
Tüm hesapları adım adım doğrulamak için: EBOB EKOK hesaplama aracı • Benzer zemin kaplama kalıbı: Fayans problemleri
Sık Sorulan Sorular
Parça uzunluğu neden EBOB olmak zorunda?
Parça uzunluğu her çubuğun bir böleni olmalı (tam bölme, artan yok) ve soru "en büyük" dediği için ortak bölenlerin en büyüğü = EBOB seçilir. "En küçük parça" sorulmaz, çünkü 1 cm her zaman mümkündür.
Çubuklardan biri diğerinin katıysa?
EBOB küçük çubuktur; küçük çubuk tek parça kalır. Örn. 15 ve 45 → parça 15 cm; parça sayısı 1 + 3 = 4.
Artan parça soruluyorsa hangi kavram devreye girer?
Bölme algoritması: uzunluk = parça × adet + kalan. Kalanın sıfır olması, parça uzunluğunun uzunluğu böldüğü anlamına gelir; yani "hiç artmama" şartı bölünebilme şartıdır → Bölünebilme kuralları
Bu problemler hangi sınavlarda çıkar?
LGS'de "yeni nesil" bağlamlı soruların klasiklerinden; KPSS-ALES-DGS problem bloklarında da sık. Sınav stratejileri: LGS'de EBOB EKOK ve KPSS-ALES teknikleri
Matematik eğitim içerikleri üzerinde çalışan editör ekibimiz; her yazıyı güncel müfredata göre hazırlar, örnekleri tek tek doğrular ve düzenli olarak günceller. Yayın politikamız →